Estudiamos el problema de Cauchy para ecuaciones parabólicas diferenciales-diferenciales con potenciales que experimentan traducciones con respecto a la variable independiente espacial. Dichas ecuaciones se utilizan para modelar varios fenómenos no cubiertos por la teoría clásica de ecuaciones diferenciales (como la óptica no lineal, la difusión no clásica, placas y sobres de múltiples capas, entre otros). Desde el punto de vista de la teoría pura, son importantes debido a efectos crucialmente nuevos que no surgen en el caso de ecuaciones diferenciales y al hecho de que varios métodos, herramientas y enfoques clásicos resultan inaplicables en la teoría no local. La novedad cualitativa de nuestra investigación es que se asume que la función de valor inicial es integrable. Anteriormente, solo se investigó el caso de funciones de valor inicial acotadas (esencialmente acotadas). Para el problema prototipo (la variable espacial es única y el término no local de la ecuación es único), construimos la representación integral de una solución y mostramos su suavidad en el semiplano abierto. Además, encontramos una condición que vincula el coeficiente en el potencial no local y la longitud de su traducción de tal manera que esta condición garantiza el decaimiento uniforme (decaimiento ponderado) de la solución construida bajo el crecimiento ilimitado del tiempo. También se estima la tasa de este decaimiento (decaimiento ponderado).