En este artículo, desarrollamos un método de iteración más rápido, llamado el método de iteración, para aproximar los puntos fijos de casi mapeos de contracción y mapeos generalizados no expansivos. Establecemos algunos resultados de convergencia débil y fuerte del método de iteración para puntos fijos de mapeos generalizados no expansivos en espacios de Banach uniformemente convexos. Proporcionamos un ejemplo numérico para ilustrar la eficiencia de nuestro nuevo método de iteración. También se estudia el resultado de estabilidad débil del nuevo método de iteración. Como aplicación de nuestros resultados principales, aproximamos la solución de una ecuación integro-diferencial de Volterra-Fredholm fraccional. Nuestros resultados mejoran y generalizan varios resultados conocidos en la literatura actual.