El análisis de muchos fenómenos físicos se reduce al estudio de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes polinómicos. El presente trabajo establece las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de soluciones polinómicas a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes polinómicos de grado , y respectivamente. Mostramos que para la condición necesaria no es suficiente para asegurar la existencia de las soluciones polinómicas. Aplicando el criterio de Scheffé a esta ecuación diferencial, hemos extraído ecuaciones genéricas que son analíticamente solubles mediante fórmulas de recurrencia de dos términos. Damos las soluciones en forma cerrada de estas ecuaciones genéricas en términos de las funciones hipergeométricas generalizadas. Para arbitrario , se desarrollaron tres teoremas elementales y un algoritmo para construir explícitamente las soluciones polinómicas junto con las condiciones necesarias y suficientes. Demostramos la validez del algoritmo al construir las soluciones polinómicas para el caso de . También demostramos la simplicidad y aplicabilidad de nuestro enfoque constructivo a través de aplicaciones a varias ecuaciones importantes en la física teórica como las ecuaciones de Heun y Dirac.