Se establecen algunas condiciones nuevas necesarias y suficientes para la existencia de familias resolventes analíticas de operadores para la ecuación lineal con una derivada de Riemann-Liouville distribuida en un espacio de Banach. Estudiamos la solubilidad única de un problema de valor inicial natural con derivadas fraccionarias distribuidas en las condiciones iniciales a ecuaciones inhomogéneas correspondientes. Estos resultados abstractos se aplican a una clase de problemas de valor inicial en la frontera para ecuaciones con derivadas distribuidas en el tiempo y polinomios con respecto a un operador diferencial elíptico autoadjunto en variables espaciales.