En el documento, los autores estudian representaciones integrales de los números catalanes y la función Catalan-Qi, discuten relaciones equivalentes entre estas representaciones integrales, proporcionan pruebas alternativas y nuevas de varias representaciones integrales, recopilan aplicaciones de algunas representaciones integrales y presentan sumas de varias series de potencias cuyos coeficientes involucran los números catalanes.