La interpolación polinómica multivariada juega un papel crucial tanto en la computación científica como en la aplicación de la ingeniería. Explorar la estructura de los subespacios polinómicos -invariantes (cerrados bajo diferenciación) tiene un significado importante para la interpolación de tipo Hermite multivariada (especialmente la interpolación ideal). Analizamos la estructura de un subespacio polinómico -invariante en términos de tensores cartesianos, donde es un subespacio con un grado total máximo igual a . Para un polinomio homogéneo arbitrario de grado total en , puede reescribirse como los productos internos de un tensor cartesiano simétrico de orden y vectores columna de indeterminadas. Mostramos que puede determinarse por todos los polinomios de un grado total uno en . Es decir, si tratamos todos los polinomios lineales en la base de como un vector columna, entonces este vector puede escribirse como un producto de una matriz de coeficientes y un vector columna de indeterminadas; nuestro resultado principal muestra que el tensor cartesiano simétrico de orden corresponde a es un producto de algunas matrices relacionales llamadas y .