Este documento presenta una extensa investigación sobre varios temas interrelacionados en análisis matemático y teoría de números. El autor revisita y amplía los resultados conocidos sobre las expansiones de series de potencias de Maclaurin para una variedad de funciones y sus restos normalizados, explora conexiones entre los números factoriales centrales, los números de Stirling y las inversas de matrices específicas, y deriva varias fórmulas y desigualdades en forma cerrada. Además, este documento revela nuevas perspectivas sobre las propiedades de estos objetos matemáticos, incluyendo la convexidad logarítmica, expresiones explícitas para ciertas cantidades e identidades que involucran los polinomios de Bell del segundo tipo.