En este trabajo, consideramos problemas de tipo Cauchy para la ecuación de Laplace con una condición de contorno dinámica en una parte del límite del dominio. Construimos un método discreto en el tiempo y sin malla para resolver dos problemas inversos para recuperar la fuente dependiente del espacio-tiempo y las funciones de contorno en condiciones de contorno dinámicas y de Dirichlet. El enfoque se basa en la segunda identidad de Green y la discretización hacia adelante en el tiempo del problema no estacionario. Derivamos una conexión global que relaciona la fuente de la condición de contorno dinámica y las condiciones de contorno de Dirichlet y Neumann en una ecuación integral. Primero, realizamos una semidiscretización en el tiempo para la condición de contorno dinámica en la ecuación integral. Luego, en cada capa de tiempo, utilizamos funciones de prueba de tipo Trefftz para encontrar las funciones de contorno desconocidas y la fuente. La precisión del método desarrollado para determinar las condiciones de contorno dinámicas y de Dirichlet para los datos sobredeterminados dados es de primer orden en el tiempo. Ilustramos su eficiencia para un alto nivel de ruido, es decir, cuando la desviación de los datos de entrada es superior al 10% en alguna parte de los datos de contorno sobrespecificados. El método propuesto logra una precisión óptima para las funciones de contorno identificadas para un número moderado de iteraciones.