Los métodos de malla móvil (también llamados métodos adaptativos) son estrategias adaptativas espaciales utilizadas para la simulación numérica de ecuaciones diferenciales parciales dependientes del tiempo. Estos métodos mantienen el número total de puntos de malla fijo durante la simulación, pero los redistribuyen en el tiempo para seguir las áreas donde se requiere una mayor densidad de puntos de malla. Hay un número muy limitado de métodos de malla móvil diseñados para resolver ecuaciones diferenciales parciales de teoría de campos, y el análisis numérico de los esquemas resultantes es desafiante. En este documento, presentamos dos formas de construir integradores variacionales y multisimplécticos adaptativos para teorías de campos Lagrangianos (1+1)-dimensionales. El primer método utiliza una discretización variacional de las ecuaciones físicas, y las ecuaciones de malla están acopladas de una manera típica de los esquemas adaptativos existentes. El segundo método trata a los puntos de malla como pseudo-partículas e incorpora su dinámica directamente en el principio variacional. Una estrategia de adaptación especificada por el usuario se impone luego a través de multiplicadores de Lagrange como una restricción en la dinámica tanto del campo físico como de los puntos de malla. Discutimos las ventajas y limitaciones de nuestros métodos. También se presentan resultados numéricos para la ecuación de Sine-Gordon.