En el presente artículo, introducimos el nuevo concepto de punto de inicio en un grafo dirigido y proporcionamos las caracterizaciones necesarias para que un grafo dirigido tenga un punto de inicio. También definimos la noción de un mapa de conjunto de caminos propios y establecemos su relación con el punto de inicio en el contexto de un espacio métrico dotado de un grafo dirigido. Además, se han demostrado algunos teoremas de punto fijo para mapas de conjunto en este contexto. También se ha establecido una versión del teorema de Knaster-Tarski utilizando nuestros resultados.