El formalismo de análisis funcional de Nikiforov-Uvarov (NUFA) se emplea para estudiar aproximadamente las soluciones propias de la ecuación de Schrödinger con el oscilador armónico pseudo-Pöschl-Teller (PTPO). Se investigaron las variaciones en los espectros de energía y las funciones de onda en función de los parámetros de pantalla para diferentes estados cuánticos. Con la expresión de energía de PTPO, se obtuvo la función de partición y otras funciones termodinámicas en función de la temperatura para diferentes valores de los parámetros de pantalla utilizando la fórmula de Euler-Maclaurin. Utilizando el teorema de Hellmann-Feynman (HFT), evaluamos numérica y gráficamente los valores esperados de PTPO para varios valores de los parámetros de pantalla y estados cuánticos. Se observa que las soluciones propias, funciones termodinámicas y valores esperados del sistema PTPO son influenciados por los estados cuánticos, los parámetros de pantalla y la temperatura.