Mucho se ha escrito sobre los espacios de exponentes variables en los últimos años. La mayor parte de la literatura trata sobre la estructura del espacio normado de dichos espacios. Sin embargo, debido a la variabilidad del exponente, la estructura modular subyacente de estos espacios es radicalmente diferente de la inducida por la norma. En este artículo, centramos nuestra atención en el progreso realizado hacia el estudio de la estructura modular de los espacios de Lebesgue de secuencias con exponentes variables. En particular, presentamos una revisión del estado del arte en cuanto a propiedades geométricas modulares en espacios de exponente variable.