En este documento, se discuten algunas propiedades geométricas de la curva de intersección del plano definida por una ecuación diferencial ordinaria no lineal. Su representación paramétrica se utiliza para encontrar los límites de algunos elementos del triángulo asociados con la curva. Estos límites tienen algunas conexiones con las constantes de la lemniscata y la constante de Gauss, que se utilizan para comparar con la curva de persecución clásica. El problema análogo de geometría esférica se resuelve utilizando una curva esférica definida por la función Gudermanniana. Se muestra que los resultados concuerdan con la propiedad de preservación de ángulos de las proyecciones de Mercator y Estereográfica. Las proyecciones de Mercator y Estereográfica también revelan la simetría de esta curva con respecto a las Espirales Esféricas y Logarítmicas. Las propiedades geométricas de la curva esférica se demuestran de dos maneras, analíticamente y utilizando un lema sobre ángulos esféricos. También se menciona un lema similar para el caso plano. El documento muestra la simetría/asimetría entre los casos esférico y plano y la derivación de propiedades de estas curvas como casos límite de algunos resultados de geometría plana y esférica.