Sea un espacio métrico compacto y una aplicación continua que define un sistema dinámico discreto. La aplicación induce dos aplicaciones naturales, una en el espacio de hiperespacios de subconjuntos compactos no vacíos y la extensión de Zadeh en el espacio de conjuntos difusos normales. En este trabajo, analizamos la interacción de algunas propiedades dinámicas de seguimiento de órbitas, a saber, las propiedades de especificación y sombreado del sistema dinámico discreto y sus sistemas dinámicos discretos inducidos. Agregar una estructura algebraica conduce a conclusiones más sólidas y obtenemos una caracterización completa de la propiedad de especificación en el hiperespacio, en el espacio difuso y en el espacio de fases si asumimos que este último es un subconjunto compacto convexo de un espacio localmente convexo (metrizable y completo) y es un operador lineal.