En este trabajo, basándonos en la teoría de los problemas de momentos de Hamburger matriciales, establecemos las conexiones intrínsecas entre la quasi-estabilidad de un polinomio matricial mónico o comónico y la propiedad de Stieltjes de una función racional de matriz construida a partir de la división par-impar del polinomio matricial original. Como aplicaciones de estas conexiones, obtenemos algunos nuevos criterios para polinomios matriciales quasi-estables y polinomios matriciales Hurwitz estables, respectivamente.