Esta nota trata sobre un producto de hipérbolas equiláteras inducido por el producto cuaterniónico considerado de manera proyectiva. Varias propiedades de esta ley de composición son derivadas y, de esta manera, llegamos a algunos números especiales como raíces o potencias de la unidad. Utilizando el álgebra de octoniones, extendemos este producto a hipérbolas equiláteras orientadas y a pares de hipérbolas equiláteras. Utilizando una inversión, extendemos este producto a lemniscatas de Bernoulli y q-leminscatas. Finalmente, extendemos este producto a un conjunto de cónicas. Se proponen tres aplicaciones de los productos dados.