Es bien conocido en la literatura que muchas técnicas analíticas son introducidas con el fin de encontrar una solución para problemas como ecuaciones funcionales, diferenciales e integrales. Estas técnicas analíticas a veces fallan en resolver dichos problemas, lo que lleva a la propuesta de métodos numéricos para aproximarse a sus soluciones aproximadas. Este artículo sugiere una versión multivaluada de un procedimiento iterativo eficiente llamado el procedimiento iterativo en el espacio de Banach y establece su convergencia débil y fuerte a puntos fijos de ciertos operadores proximalmente cuasi-no expansivos. Para respaldar estos resultados y sugerir la alta precisión de este procedimiento, desarrollamos un ejemplo de un operador proximalmente cuasi-no expansivo y realizamos un experimento numérico comparativo. Como aplicación, resolvemos un problema de valor límite de dos puntos (BVP) en el espacio de Banach. Nuestros resultados son nuevos y extienden algunos resultados de la literatura para el nuevo entorno de mapeos.