Consideramos la existencia y unicidad de las soluciones clásicas saturadas y las soluciones clásicas positivas a problemas de valor inicial y de contorno de sub-difusión semi-lineal con términos de gradiente. Aplicando esto a la potencia fraccionaria de la teoría del operador sectorial y la teoría de imbedding en los espacios de interpolación, donde el término no lineal satisface condiciones más generales, obtenemos la existencia y unicidad de las soluciones clásicas saturadas. Los resultados obtenidos generalizan las conclusiones recientes sobre este tema. Finalmente, se presenta un ejemplo para ilustrar la viabilidad de nuestros resultados principales.