Este artículo trata sobre la comprensión básica de problemas de valor final parabólicos, y se demuestra que una gran clase de dichos problemas está bien planteada. La aclaración se obtiene a través de espacios de Hilbert explícitos que caracterizan los datos posibles, brindando existencia, unicidad y estabilidad de las soluciones correspondientes. El espacio de datos se da como el dominio normado del grafo de un operador no acotado que ocurre naturalmente en la teoría. Induce una nueva condición de compatibilidad, que se basa en el hecho, demostrado aquí, de que los semigrupos analíticos siempre son invertibles en la clase de operadores cerrados. La configuración general son ecuaciones de evolución para operadores de Lax-Milgram en espacios de distribuciones vectoriales. Como ejemplo principal, se trata el problema de valor final de la ecuación del calor en un conjunto abierto suave, y se muestra que los datos de Dirichlet no nulos requieren una extensión no trivial de la condición de compatibilidad mediante la adición de una integral de Bochner impropia.