La teoría de la percolación es un tema que ha florecido en las últimas décadas. Debido a su expresión simple y rica connotación, se utiliza ampliamente en química, ecología, física, ciencia de materiales, enfermedades infecciosas y redes complejas. Consideremos un árbol infinito de raíz -aria donde a cada vértice se le asigna una variable aleatoria i.i.d. Cuando la variable aleatoria sigue una distribución de Bernoulli, un camino se llama corrida principal si todas las variables aleatorias asignadas en el camino son 1. Obtenemos la ley débil de los grandes números para la longitud de la corrida principal más larga. Además, cuando la variable aleatoria sigue una distribución continua, un camino se llama camino creciente si la secuencia de variables aleatorias en el camino es creciente. Mediante el método de Stein y otros métodos probabilísticos, demostramos que la longitud del camino creciente más largo con probabilidad uno se centra en tres puntos. También consideramos los comportamientos límite para el camino creciente más largo en un árbol especial.