Las soluciones analíticas de una familia de ecuaciones singularmente perturbadas de diferencia-diferencial en el dominio complejo son construidas y estudiadas desde un punto de vista asintótico con respecto al parámetro de perturbación. Se consideran dos tipos de soluciones holomorfas, las llamadas soluciones internas y externas. Cada una de ellas mantiene una relación asintótica particular con las formales en términos de expansiones asintóticas en el parámetro de perturbación. La tasa de crecimiento en la asintótica se apoya en la rama de la función de Lambert, lo cual resulta ser crucial.