En este documento, se utiliza el problema de Riemann-Hilbert, con un salto soportado en una curva apropiada en el plano complejo con un punto final finito en el origen, para el estudio de los polinomios biortogonales de matriz correspondientes asociados con matrices de tipo Laguerre de pesos, que se construyen en términos de una ecuación de Pearson de matriz dada. Se derivan sistemas diferenciales de primer y segundo orden para la matriz fundamental, solución del problema de Riemann-Hilbert mencionado. Se presenta un ejemplo explícito y general para ilustrar los resultados teóricos del trabajo. Se discuten las extensiones no abelianas de una familia de ecuaciones discretas Painlevé IV.