Investigamos el problema inicial para un sistema lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes y con el operador de diferenciación fraccional de Dzhrbashyan-Nersesyan. Se demuestran los teoremas de existencia y unicidad de la solución del problema de valor límite bajo estudio. La solución se construye explícitamente en términos de la función de Mittag-Leffler del argumento de matriz. El operador de Dzhrbashyan-Nersesyan es una generalización de los operadores de diferenciación fraccional de Riemann-Liouville, Caputo y Miller-Ross. Los resultados obtenidos como casos particulares contienen los resultados relacionados con el estudio de problemas iniciales para los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con derivadas de Riemann-Liouville, Caputo y Miller-Ross y el problema inicial investigado que los generaliza.