En este trabajo, consideramos sistemas robóticos para los cuales el tensor de masa se identifica como la métrica en una variedad riemanniana. La invarianza funcional del costo se logra construyéndola con la métrica identificada. La evolución del control óptimo se revela en forma de una ecuación diferencial ordinaria covariante de segundo orden que presenta el tensor de curvatura de Riemann que restringe la variable de control. En el marco del principio del máximo de Pontryagin, la función de costo tiene un impacto directo en el Hamiltoniano del sistema. Se considera como el índice de rendimiento, y las variables de control óptimas se ven afectadas por esta elección fundamental. En el contexto actual de la invarianza funcional del costo, mostramos que las variables adjuntas son la representación de primer orden de la ecuación de evolución de la variable de control de segundo orden. También se muestra que agregar términos invariantes suplementarios a la función de costo no modifica la estructura básica de la ecuación de evolución covariante del control óptimo. Los ensayos numéricos muestran que las funcionales de costo invariantes propuestas, en comparación con sus versiones no invariantes, conducen a un menor consumo de energía conjunta y amplitudes angulares articulares más estrechas durante el movimiento. Con nuestra formulación, el solucionador de ecuaciones diferenciales gana estabilidad y opera de manera significativamente más rápida en comparación con ejemplos donde no se considera la invarianza funcional del costo.