El primer índice Zagreb completo (FEZI) es un parámetro de gráficos que ha demostrado ser esencial en varios escenarios de la vida real, como empresas de redes y gestión del tráfico en carreteras. En este documento de investigación, el FEZI se exploró para una variedad de gráficos difusos, incluyendo estrella, gráfico luciérnaga, ciclo, camino, subgrafo difuso, eliminación de vértices y eliminación de aristas. Este estudio presentó varios resultados, incluyendo la determinación de la relación entre dos gráficos difusos isomorfos y entre un camino y un ciclo (conectando ambos vértices finales del camino). Esta investigación también aborda el análisis de gráficos difusos de corte y establece límites para algunos gráficos difusos. Para aplicar estos hallazgos a problemas de la vida moderna, el equipo de investigación utilizó los resultados para identificar áreas que requieren más desarrollo en sistemas de Internet. Estos resultados tienen implicaciones prácticas para mejorar la eficiencia y efectividad de los sistemas de Internet. La conclusión extraída de esta investigación puede utilizarse para informar investigaciones futuras y ayudar en el desarrollo de sistemas más eficientes y efectivos en varios campos.