Este trabajo trata sobre el antiguo problema de la conexión entre las dilataciones de un homeomorfismo cuasisimétrico dado de un círculo y los mapas cuasiconformes poligonales asociados con un número finito fijo de puntos de frontera, es decir, si , donde el supremo se toma sobre todos los -gonos posibles formados por el disco con puntos de frontera distinguidos. Una pregunta aún abierta es si tal igualdad es válida bajo el supuesto adicional de que las funciones univalentes naturalmente relacionadas con extensiones cuasiconformes tienen normas de Grunsky y Teichmüller iguales. Hemos resuelto este problema de forma negativa para .