Partiendo desde los principios más básicos, derivamos parametrizaciones explícitas de las matrices orto-simplécticas en el espacio euclidiano real de cuatro dimensiones. Estas matrices dependen de un conjunto de cuatro parámetros reales que se dividen naturalmente en una unión de la recta real y el espacio tridimensional. Resulta que cada uno de estos conjuntos está asociado con una álgebra de Lie separada que, tras exponenciaciones, genera grupos de Lie que conmutan entre sí. Además, mediante el uso de los mapas de Cayley y Fedorov, hemos llegado a realizaciones alternativas de las matrices orto-simplécticas en cuatro dimensiones. Finalmente, apoyándonos en los resultados estructurales fundamentales en la teoría de grupos de Lie, hemos derivado una parametrización más explícita de estas matrices que sugiere que los resultados obtenidos anteriormente pueden ser vistos como un método universal para construir las representaciones de los grupos unitarios en cualquier dimensión.