Partiendo de los principios diferencial-geométricos más fundamentales, aquí derivamos nuevas parametrizaciones explícitas de las superficies de Delaunay de revolución que dependen de dos parámetros reales con rangos fijos. Además, hemos demostrado que estos parámetros tienen significados geométricos muy claros. El primero es responsable del tamaño de la superficie en consideración y el segundo especifica su forma. Dependiendo de los rangos concretos de estos parámetros, cualquier superficie de Delaunay que no sea ni un cilindro ni el plano se clasifica de manera unívoca como una superficie de Delaunay de primer o segundo tipo. Según esta clasificación, las esferas son superficies de Delaunay de primer tipo mientras que los catenoides son superficies de Delaunay de segundo tipo. La geometría de ambas clases está establecida, lo que significa que los coeficientes de sus formas fundamentales se encuentran de forma explícita.