En este trabajo, investigamos la existencia y estabilidad de órbitas periódicas de un modelo de supresión de población de mosquitos basado en mosquitos estériles. El modelo cambia entre dos subecuaciones ya que se asume que el número real de mosquitos estériles en la naturaleza toma dos valores constantes alternativamente. Empleando el método del mapa de Poincaré, mostramos que el modelo tiene a lo sumo dos soluciones -periódicas cuando la cantidad liberada no es suficiente para erradicar a los mosquitos en la naturaleza, y luego obtenemos algunas condiciones suficientes para que el modelo admita una solución única o exactamente dos soluciones -periódicas. En particular, observamos que el modelo muestra bistabilidad cuando admite exactamente dos soluciones -periódicas: el origen y la solución periódica más grande son asintóticamente estables, y la solución periódica más pequeña es inestable. Finalmente, presentamos dos ejemplos numéricos para respaldar nuestros lemas y teoremas.