La órbita principal y las funciones de conteo de órbitas de Mertens describen el crecimiento de órbitas cerradas en un sistema dinámico discreto de cierta manera. En este documento, demostramos el comportamiento asintótico de estas funciones para un desplazamiento de tipo periódico-finito. La prueba se basa en la extensión meromórfica de su función zeta de Artin-Mazur.