Presentamos dos resultados novedosos para pequeñas oscilaciones amortiguadas descritas por la ecuación diferencial vectorial, donde la matriz de masa puede ser singular, pero las técnicas estándar de deflación no pueden aplicarse. El primer resultado es una fórmula novedosa para la solución de la ecuación de Lyapunov, donde se obtiene a partir de , y , que son las llamadas matrices de masa, amortiguamiento y rigidez, respectivamente, y . Aquí, es semidefinida positiva con . Utilizando la fórmula obtenida, proponemos una forma muy eficiente de calcular la matriz de amortiguamiento óptima. El segundo resultado se obtuvo para una estructura diferente, donde asumimos que existe amortiguamiento interno (generalmente un pequeño porcentaje del amortiguamiento crítico). Para esta estructura, introducimos una linealización novedosa, es decir, una construcción novedosa de la matriz en la ecuación de Lyapunov, y un proceso de optimización novedoso. El proceso de optimización propuesto calcula el amortiguamiento óptimo que minimiza una función (donde es una matriz simétrica positiva semidefinida elegida) utilizando la función de aproximación , para la función de traza . Ambos resultados se ilustran con varios ejemplos numéricos correspondientes.