Este documento trata sobre una clase de problemas de control óptimo restringidos de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden (en resumen, EDP). Más específicamente, mediante el uso de técnicas variacionales apropiadas, establecemos condiciones necesarias de optimalidad asociadas con esta clase de problemas de optimización, definidos por funcionales de costo integrales curvilíneos controlados que involucran derivadas parciales de segundo orden. La importancia del problema considerado se proporciona por sus aplicaciones en mecánica y física. En comparación con otros trabajos de investigación, aquí desarrollamos un nuevo contexto matemático que extiende los resultados obtenidos hasta ahora, tanto a través del uso de integrales curvilíneas controladas como también al considerar derivadas parciales de segundo orden. Además, para enfatizar la utilidad de los resultados principales, se proporciona un ejemplo ilustrativo.