Este artículo trata sobre las condiciones de optimalidad para un problema de control óptimo suave con un punto final y restricciones mixtas. Bajo la suposición de normalidad, que corresponde a la condición de rango completo de la matriz de controlabilidad asociada, se deriva una prueba simple de las condiciones de optimalidad necesarias de segundo orden basadas en el teorema de estabilidad de Robinson. La principal novedad de este enfoque en comparación con los resultados conocidos en esta área es que solo se requiere una regularidad local con respecto a las restricciones mixtas, es decir, una regularidad en un tubo sobre el minimizador, en lugar de la hipótesis de regularidad global convencional más fuerte. Esto afecta a la condición de máximo. Por lo tanto, el conjunto normal de multiplicadores de Lagrange en cuestión satisface el principio del máximo, aunque junto con la condición de máximo modificada, en la que el máximo se toma sobre un conjunto factible reducido. En la segunda parte de este trabajo, abordamos el caso de minimizadores anómalos, es decir, cuando la condición de rango completo de la matriz de controlabilidad no es válida. Se obtiene el mismo tipo de condición máxima reducida.