Investigamos un problema de selección de cartera que implica la elección realista de un servicio de vivienda por parte de un agente, donde el agente no solo tiene que elegir el tamaño de la casa en la que vivir, sino también tiene que decidir entre alquilar y comprar una casa. Adoptando un enfoque de programación dinámica, derivamos una solución en forma cerrada para obtener las políticas óptimas para el consumo, la inversión, el servicio de vivienda y el momento de compra de una casa. También presentamos diversas demostraciones numéricas que muestran los impactos de los parámetros en los mercados financieros y de vivienda y las preferencias del agente, lo que visualmente muestra las implicaciones económicas de nuestro modelo. Nuestro modelo hace una contribución significativa porque es un modelo pionero para el momento óptimo de compra de una casa, que no ha sido investigado en profundidad en los modelos existentes de optimización de carteras matemáticas.