Proporcionamos y demostramos algunas nuevas propiedades fundamentales del operador fraccional de Erdélyi-Kober, incluyendo monotonía, acotamiento, actuación y continuidad en ambos espacios de Lebesgue y espacios de Orlicz. Empleamos estas propiedades con el concepto de la medida de falta de compacidad asociada con la hipótesis del punto fijo en la resolución de una ecuación integral cuadrática de orden fraccional en y . Finalmente, proporcionamos algunos ejemplos para respaldar nuestros hallazgos. Nuestras suposiciones pueden aplicarse con éxito a varios problemas fraccionarios.