Se considera un modelo cuántico de un láser de electrones libres (FEL). Se consideran dos enfoques diferentes para la exploración del sistema FEL. En el primer caso, las ecuaciones de movimiento de Heisenberg se asignan en base a las funciones de onda iniciales, que consisten en estados coherentes de fotones y estados coherentes de electrones multidimensionales. Este mapeo es un procedimiento exacto, lo que hace posible obtener una ecuación de movimiento exacta para la intensidad del campo láser en una forma cerrada. La ecuación obtenida está controlada por un operador de Koopman. La expresión analítica para la evolución de la intensidad del FEL se obtiene en el marco de una teoría de perturbación, que se construye para una escala de tiempo pequeña. La segunda forma de consideración se basa en la construcción de integrales de trayectoria multidimensionales para la evolución de la función de onda. Este método también permite estimar la evolución temporal y la ganancia de la intensidad del FEL.