Analizamos aplicaciones no lineales suaves para espacios de Hilbert y Banach que llevan bolas pequeñas a conjuntos convexos, siempre que los radios de las bolas sean lo suficientemente pequeños. Nos centramos en el estudio de condiciones nuevas y moderadamente suficientes para que la aplicación no lineal de espacios de Hilbert y Banach sea localmente convexa, y abordamos un problema de convexidad local reformulado de manera adecuada analizado dentro del enfoque del método de homotopía de Leray-Schauder para espacios de Hilbert, y dentro de la condición de suavidad de Lipschitz para ambos espacios de Hilbert y Banach. Algunos de los resultados presentados en este trabajo resultan interesantes y novedosos, incluso para problemas de dimensionalidad finita. También se formulan problemas abiertos relacionados con la propiedad de convexidad local para aplicaciones no lineales de espacios de Banach.