Este documento investiga una clase de polinomios de tipo Jacobsthal (JTPs) que involucra un parámetro. Presentamos varias nuevas fórmulas para estos polinomios, incluyendo expresiones para sus derivadas, momentos y fórmulas de linearización. La idea clave detrás de la derivación de estas fórmulas se basa en desarrollar una nueva fórmula de conexión que expresa los polinomios de Chebyshev desplazados de tercer tipo en términos de los JTPs. Esta fórmula de conexión se utiliza para deducir una nueva fórmula de inversión de los JTPs. Por lo tanto, al utilizar la representación en forma de potencia de estos polinomios y su fórmula de inversión correspondiente, podemos derivar expresiones adicionales para ellos. Además, calculamos algunas integrales definidas basadas en algunas fórmulas de estos polinomios.