La hipótesis de Kurepa para el factorial izquierdo ha sido un problema sin resolver durante más de 50 años. En este documento, hemos propuesto nuevos equivalentes para la hipótesis de Kurepa para el factorial izquierdo. Se presenta la conexión entre el factorial izquierdo y las fracciones continuas. Se demuestra el nuevo equivalente basado en las propiedades de la parte entera de los números reales. Además, se da un nuevo equivalente basado en las propiedades de dos secuencias bien conocidas. Se enumera una nueva representación del factorial izquierdo. Dado que los números de derangements están estrechamente relacionados con la hipótesis de Kurepa, hicimos algunas notas sobre los números de derangements y definimos una nueva secuencia de números naturales basada en los números de derangements. En este documento, indicamos una posible dirección para investigaciones futuras a través de la resolución de ecuaciones cuadráticas.