En este trabajo, construimos una nueva ecuación diferencial parcial de matriz que tiene una estructura y propiedades que reflejan las de una cuarta ecuación de Painlevé de matriz derivada recientemente por los autores actuales. En particular, mostramos que esta ecuación de matriz admite una transformación auto-Bäcklund análoga a la de esta cuarta ecuación de Painlevé de matriz. Tales transformaciones auto-Bäcklund, en apariencia similares a las de las ecuaciones de Painlevé, son bastante novedosas, habiendo sido poco estudiadas en el caso de ecuaciones diferenciales parciales. Nuestro trabajo aquí muestra la importancia de la estructura subyacente de las ecuaciones diferenciales, ya sean ordinarias o parciales, en la derivación de tales resultados. El punto de partida para los resultados en este trabajo es la construcción de una nueva ecuación completamente integrable, a saber, una ecuación de ondas de agua dispersiva de matriz inversa.