El presente estudio tiene como objetivo desarrollar nuevas soluciones paramétricas para el problema de segundo grado de Prouhet Tarry Escott con tamaños 3, 4 y 5. Durante esta investigación, se identifican nuevas representaciones paramétricas para enteros como la suma de tres, cuatro y cinco cuadrados perfectos de dos formas distintas. Además, se deriva una nueva demostración de la no existencia de soluciones del problema ideal de Prouhet Tarry Escott con grado 3 y tamaño 2. El presente trabajo también obtiene una solución paramétrica de tres para el problema ideal de Prouhet Tarry Escott de grado tres y tamaño dos. El estudio actual también tuvo como objetivo discutir el patrón similar al de Fibonacci en las soluciones y finalmente se obtuvo un límite superior para este nuevo patrón.