El objetivo principal de este artículo es investigar teóricamente un tipo de polinomios ortogonales, a saber, los polinomios generalizados de Jacobi. Estos polinomios pueden expresarse como ciertas combinaciones de polinomios de Legendre. Algunas fórmulas básicas de estos polinomios, como la representación en forma de potencia y la fórmula de inversión de estos polinomios, se introducen primero, y después se establecen algunas fórmulas interesantes relacionadas con estos polinomios. Se desarrolla la fórmula de las derivadas de los momentos de estos polinomios. Como casos especiales de esta fórmula, se deducen las fórmulas de los momentos y las derivadas de alto orden de los polinomios de Jacobi generalizados. También se establecen nuevas expresiones para las derivadas de alto orden de los polinomios de Jacobi generalizados, pero en términos de polinomios simétricos y no simétricos diferentes. Estas expresiones conducen a algunas fórmulas de conexión interesantes entre los polinomios de Jacobi generalizados y varios polinomios.