Obtenemos una nueva descripción extendida del conjunto excepcional en la relación asintótica de tipo Borel en términos del máximo de la función del integrando para las integrales de Laplace-Stieltjes. La descripción obtenida de un conjunto excepcional en la relación de tipo Borel no deja lugar a mejoras. En particular, construimos una medida correspondiente, una función dada por la integral de Laplace-Stieltjes con respecto a esta medida, y un conjunto medible para el cual se cumple la desigualdad opuesta a la relación de tipo Borel.