Dada una secuencia de variables aleatorias, se dice que es un casi récord si , donde y es un parámetro. Investigamos el proceso puntual en de valores casi récord de una secuencia de valores enteros, independientes e idénticamente distribuidos, mostrando que es un proceso de conglomerado de Bernoulli. Derivamos la función generadora de probabilidades de y las fórmulas para la esperanza, varianza y covarianza de las variables de conteo . También derivamos la convergencia fuerte y la normalidad asintótica de , a medida que , bajo condiciones de regularidad moderadas en la distribución de las observaciones. Para distribuciones de colas pesadas, con tasas de peligro cuadrado-sumables, demostramos que crece hasta un límite aleatorio finito y calculamos su función generadora de probabilidades. Presentamos ejemplos de la aplicación de nuestros resultados a distribuciones particulares, cubriendo una amplia gama de comportamientos en términos de sus colas derechas.