Debido a las aplicaciones en muchos campos, hay un gran interés en estudiar ecuaciones de diferencia parciales que involucran funciones con dos o más variables discretas. En este artículo, tratamos la existencia de infinitas soluciones para un problema de valor en la frontera discreto de Dirichlet parcial con el -Laplaciano utilizando la teoría de puntos críticos. Además, bajo suposiciones apropiadas sobre el término no lineal, determinamos intervalos abiertos del parámetro tales que al menos dos soluciones positivas y una secuencia no acotada de soluciones positivas son obtenidas utilizando el principio del máximo. También mostramos dos ejemplos para ilustrar nuestros resultados.