Se investigó un modelo epidémico SIR que describe la dinámica de enfermedades infantiles con una tasa de incidencia saturada y un programa de vacunación a una tasa constante. Para el modelo continuo primero mostramos sus propiedades básicas, es decir, la no negatividad y acotamiento de las soluciones. Luego investigamos la existencia y la estabilidad local y global de los puntos de equilibrio. Se encontró que las propiedades de existencia y estabilidad de los puntos de equilibrio determinaban completamente el número básico de reproducción. También proponemos y analizamos un análogo discreto en tiempo de las enfermedades infantiles continuas aplicando un método de diferencias finitas no estándar. Se muestra que nuestro modelo discreto conserva las propiedades dinámicas del modelo continuo correspondiente, como las soluciones positivas, la ley de conservación de la población, la existencia de puntos de equilibrio y sus propiedades de estabilidad global.