Un modelo de teoría de conjuntos se define en nuestra investigación reciente, en el cual, para un dado , existe un buen ordenamiento bien-fundado de los reales, pero no existen ordenamientos bien-fundados de los reales (no necesariamente buenos) en la clase anterior. Por lo tanto, la conjunción es consistente, modulo la consistencia de sí misma. En este artículo, aclaramos y fortalecemos significativamente este resultado. Probamos la consistencia de la conjunción para cualquier dado sobre la base de la consistencia de , la aritmética de Peano de segundo orden, que es una suposición mucho más débil que la consistencia de utilizada en el resultado anterior. Este es un nuevo resultado que puede llevar a un mayor progreso en los estudios de la jerarquía proyectiva.