Este documento trata sobre los efectos de las ecuaciones diferenciales parciales en el desarrollo de patrones espacio-temporales en sistemas de reacción-difusión. Estos sistemas describen cómo se distribuye la concentración de una cierta sustancia en el espacio o el tiempo bajo el efecto de dos fenómenos: las reacciones químicas de diferentes sustancias en algún otro producto y la difusión que resulta en la dispersión de una cierta sustancia sobre una superficie en el espacio. La representación matemática de estos tipos de modelos se llama el modelo Gray-Scott, que exhibe la formación de patrones y morfogénesis en organismos vivos, por ejemplo, la formación inicial de patrones que ocurren en el desarrollo celular, etc. Para explorar las soluciones estacionarias no homogéneas del modelo, utilizamos un enfoque numérico de alto orden basado en el método espectral de Chebyshev. Se muestra que el sistema está en estados estacionarios uniformes estabilizados en el caso del caos espacio-temporal o lleva a la bistabilidad entre un estado estacionario trivial y una onda viajera propagante. Cuando la constante de difusión de cada morfógeno es diferente en dos especies de la ecuación de reacción-difusión, ocurrirá una inestabilidad impulsada por la difusión. Para la confirmación de los resultados teóricos, se realizan algunas simulaciones numéricas de formación de patrones en el modelo Gray-Scott utilizando el esquema numérico propuesto.