Se considera en este artículo un modelo de presa-depredador Leslie-Gower con cosecha no lineal y un depredador generalista. Se muestra que el equilibrio positivo degenerado del sistema es una cúspide de codimensión de hasta 4, y el sistema admite la bifurcación degenerada de Bogdanov-Takens de tipo cúspide de codimensión 4. Además, el sistema tiene un foco débil de al menos orden 3 y puede experimentar una bifurcación de Hopf degenerada de codimensión 3. Verificamos, a través de simulaciones numéricas, que el sistema admite tres estados estables diferentes, como un punto fijo estable y tres ciclos límite (el del medio es inestable), o dos puntos fijos estables y dos ciclos límite. Nuestros resultados revelan que la cosecha no lineal y un depredador generalista pueden llevar a dinámicas y bifurcaciones más ricas (como tres ciclos límite o tristabilidad); específicamente, la cosecha puede causar la extinción de la presa, pero un depredador generalista proporciona cierta protección al depredador en ausencia de presa.