En este estudio, se considera un sistema depredador-presa difusivo con una respuesta funcional que aumenta tanto en las densidades de depredadores como de presas. Analizando las raíces características del sistema de ecuaciones diferenciales parciales, se estudia la inestabilidad de Turing y la bifurcación de Hopf. Para considerar la dinámica del modelo donde la curva de bifurcación de Turing y la curva de bifurcación de Hopf se intersecan, elegimos los coeficientes de difusión y como parámetros de bifurcación. En particular, se calculó la forma normal de la bifurcación de Turing-Hopf para poder obtener el diagrama de fases. Para los parámetros en cada región del diagrama de fases, existen diferentes tipos de soluciones y sus propiedades dinámicas son extremadamente ricas. En este estudio, hemos utilizado algunas simulaciones numéricas para confirmar estas ideas.